Las Vegas的特征 用拉斯維加斯算法解決8皇后問題

拉斯維加斯算法的一個顯著特征是它所作的隨機性決策有可能導致算法找不到所需的解。因此通常用一個bool型函數表示拉斯維加斯算法。

void Obstinate(InputType x, OutputType &y)
{

// 反復調用拉斯維加斯算法LV(x, y)，直到找到問題的一個解
bool success= false;
while (!success)
success = LV(x,y);
}


考慮用拉斯維加斯算法解決N皇后問題：

對于n后問題的任何一個解而言，每一個皇后在棋盤上的位置無任何規(guī)律，不具有系統性，而更象是隨機放置的。由此容易想到下面的拉斯維加斯算法。
在棋盤上相繼的各行中隨機地放置皇后，并注意使新放置的皇后與已放置的皇后互不攻擊，直至n個皇后已相容地放置好，或已沒有下一個皇后的可放置位置時為止。注意這里解決的是找到其中一個方法，求不是求出N皇后的全部解。

這里提前說明一下，否則不好理解。

接下來的這個用Las Vegas算法解決N皇后問題，我們采用的是隨機放置位置策略和回溯法相結合，具體就是比如八皇后中，前幾行選擇用隨機法放置皇后，剩下的選擇用回溯法解決。

這個程序不是很好理解，有的地方我特別說明了是理解程序的關鍵，大家看時一定要認真了，另外，王曉東的書上先是用單純的隨機法解決，大家可以先去理解書上這個例子。然后再來分析我這個程序。不過那本書上關于這一塊錯誤比較多，大家看時要注意哪些地方他寫錯了。

拉斯維加斯算法解決N皇后代碼：

依然用到了RandomNumber.h頭文件，大家可以去看下第一章，我就不貼出來了。

剩下部分的代碼：

注意QueensLV()函數是這個程序的精髓所在。

Queen.h頭文件

#ifndef QUEEN_H
#define QUEEN_H

class Queen
{
friend bool nQueen(int);
private:
bool Place(int k); // 測試皇后k置于第x[k]列的合法性
bool Backtrack(int t); // 解n后問題的回溯法
bool QueensLV(int stopVegas); // 隨機放置n個皇后拉斯維加斯算法
int n, *x, *y;
};

#endif


Queen.cpp文件

#include <iostream>

#include "Queen.h"
#include "RandomNumber.h"
using namespace std;

bool Queen::Place(int k)
{
// 測試皇后k置于第x[k]列的合法性
for(int j = 1; j < k; ++ j)
if((abs(k-j) == abs(x[j]-x[k])) || (x[j]==x[k]))
return false;
return true;
}

bool Queen::Backtrack(int t)
{
// 解n后問題的回溯法
if(t > n)
{
for(int i=1; i<=n; ++i)
y[i] = x[i];
return true;
}
else
for(int i=1; i<=n; ++i)
{
x[t] = i;
if(Place(t) && Backtrack(t+1))
return true;
}
return false;
}

/*
* QueensLV是整個Las Vegas解n皇后的精髓。而且這個函數不好理解，我在這里具體分析下。
* k是第k行，x[k]表示第k行的皇后放在x[k]列
* 下面這兩點解析請認真看了，我個人就是卡在這里半天了，但是理解后很簡單。
* 標號①處：這里是遍歷第k行所有可以放置的列號，用y保存下來，并用count記錄有多少個位置可以放置
* 標號②處：這里利用上面保存的可以放置的列，然后隨機取其中一列來放置第k行的皇后。這就是Las Vegas的精髓！
*/
// Author: Tanky Woo
// Blog: www.WuTianQi.com
bool Queen::QueensLV(int stopVegas)
{
// 隨機放置n個皇后的拉斯維加斯算法
RandomNumber rnd; // 隨機數產生器
int k = 1; // 下一個放置的皇后編號
int count = 1;
// 1 <= stopVegas <= n 表示允許隨機放置的皇后數
while((k <= stopVegas) && (count > 0))
{
count = 0;
for(int i = 1; i<=n; ++i) // ----------- ①
{
x[k] = i;
if(Place(k))
y[count++] = i;
}
if(count > 0) // -------------②
x[k++] = y[rnd.Random(count)]; // 隨機位置
}
return (count > 0); // count > 0表示放置位置成功
}


Main.cpp主文件：

/*
* Author: Tanky woo
* Blog: www.WuTianQi.com
* Date: 2010.12.9
* 拉斯維加斯(Las Vegas)算法解決N皇后問題
* 代碼來至王曉東《計算機算法設計與分析》
*/
#include "Queen.h"
#include "RandomNumber.h"
#include <iostream>
using namespace std;

bool nQueen(int n)
{
// 與回溯法結合的解n后問題的拉斯維加斯算法
Queen X;
// 初始化X
X.n = n;
int *p = new int[n+1];
int *q = new int[n+1];
for(int i=0; i<=n; ++i)
{
p[i] = 0;
q[i] = 0;
}
X.y = q;
X.x = p;
// 設置隨機放置皇后的個數
int stop = 8;
if(n > 15)
stop = n-15;
bool found = false;
while(! X.QueensLV(stop));
// 算法的回溯搜索部分
if(X.Backtrack(stop+1))
{
for(int i=1; i<=n; ++i)
cout << p[i] << " ";
found = true;
}
cout << endl;
delete [] p;
delete [] q;
return found;
}

int main()
{
nQueen(8);
}

在8皇后問題中：

1.stopVegas=0表示完全使用回溯法解決問題。因此一定可以得到一組解。

2.stopVegas=8表示完全實用隨機法解決問題。因此一定可以得到一組解。

注意書上說解決8皇后問題時，列出了一個不同stopVegas值時，所對應的算法成功率，在stopVegas=8時，他寫著是0.1293，我個人認為是錯的。接下來我說下自己這么理解的原因：

首先，這個程序為何會造成有失敗的情況，那就是因為在隨機求出前stopVegas行成立時，不代表后面N-stopVegas行用回溯就可以成立，因為這不是一個徹底的回溯。它是從stopVegas+1行開始計算，回溯不成立最后返回時，也只停留在stopVegas。

而我們在完全隨機時，那么它就是反復調用隨機位置放置n個皇后的Las Vegas算法，直至放置成功。所以當stopVegas=8時，他的成功率也應該是100%。

另外在stopVegas=3時，成功率等于0.49，趨近于0.5，大家可以試試，基本上每運行兩次會有一次回來結果。