2015年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（一）試題及正確答案！
下邊以文字的形式為大家?guī)砣款}目及其答案！
一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.
(1)設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，其中二階導數(shù)的圖形如圖所示，則曲線的拐點的個數(shù)為 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】（C）
【解析】拐點出現(xiàn)在二階導數(shù)等于0，或二階導數(shù)不存在的點，并且在這點的左右兩側(cè)二階導函數(shù)異號。因此，由的圖形可得，曲線存在兩個拐點.故選（C）.
(2)設(shè)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個特解，則 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】（A）
【分析】此題考查二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的反問題——已知解來確定微分方程的系數(shù)，此類題有兩種解法，一種是將特解代入原方程，然后比較等式兩邊的系數(shù)可得待估系數(shù)值，另一種是根據(jù)二階線性微分方程解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)來求解，也就是下面演示的解法.
【解析】由題意可知，、為二階常系數(shù)齊次微分方程的解，所以2,1為特征方程的根，從而，，從而原方程變?yōu)�，再將特解代入�?故選（A）
(3) 若級數(shù)條件收斂，則 與依次為冪級數(shù)的 ( )
(A) 收斂點，收斂點
(B) 收斂點，發(fā)散點
(C) 發(fā)散點，收斂點
(D) 發(fā)散點，發(fā)散點
【答案】（B）
【分析】此題考查冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間，冪級數(shù)的性質(zhì).
【解析】因為條件收斂，即為冪級數(shù)的條件收斂點，所以的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為.而冪級數(shù)逐項求導不改變收斂區(qū)間，故的收斂區(qū)間還是.因而與依次為冪級數(shù)的收斂點，發(fā)散點.故選（B）.
(4) 設(shè)是第一象限由曲線，與直線，圍成的平面區(qū)域，函數(shù)在上連續(xù)，則 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】（B）
【分析】此題考查將二重積分化成極坐標系下的累次積分
【解析】先畫出D的圖形，
所以，故選（B）
(5) 設(shè)矩陣，，若集合，則線性方程組有無窮多解的充分必要條件為 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】D
【解析】，
由，故或，同時或。故選（D）
(6)設(shè)二次型 在正交變換為 下的標準形為 ，其中 ，若 ，則在正交變換下的標準形為 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】(A)
【解析】由，故.且
.
所以。選（A）
(7) 若A,B為任意兩個隨機事件，則 ( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】(C)
【解析】由于，按概率的基本性質(zhì)，我們有且，從而，選(C) .
(8)設(shè)隨機變量不相關(guān)，且，則 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】(D)
【解析】
，選(D) .
二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.
(9)
【答案】
【分析】此題考查型未定式極限，可直接用洛必達法則，也可以用等價無窮小替換.
【解析】方法一：
方法二：
(10)
【答案】
【分析】此題考查定積分的計算，需要用奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的性質(zhì)化簡.
【解析】
(11)若函數(shù)由方程確定，則
【答案】
【分析】此題考查隱函數(shù)求導.
【解析】令，則
又當時，即.
所以，因而
(12)設(shè)是由平面與三個坐標平面平面所圍成的空間區(qū)域，則
【答案】
【分析】此題考查三重積分的計算，可直接計算，也可以利用輪換對稱性化簡后再計算.
【解析】由輪換對稱性，得
，
其中為平面截空間區(qū)域所得的截面，其面積為.所以
(13) 階行列式
【答案】
【解析】按第一行展開得
(14)設(shè)二維隨機變量服從正態(tài)分布，則
【答案】
【解析】由題設(shè)知，，而且相互獨立，從而
.
三、解答題：15～23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
(15)(本題滿分10分) 設(shè)函數(shù)，，若與在是等價無窮小，求的值.
【答案】
【解析】法一：原式
即
法二：
因為分子的極限為0，則
，分子的極限為0，
，
(16)(本題滿分10分) 設(shè)函數(shù)在定義域I上的導數(shù)大于零，若對任意的，由線在點處的切線與直線及軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且，求的表達式.
【答案】.
【解析】設(shè)在點處的切線方程為：
令，得到，
故由題意，，即，可以轉(zhuǎn)化為一階微分方程，
即，可分離變量得到通解為：，
已知，得到，因此；
即.
(17)(本題滿分10分)
已知函數(shù)，曲線C：，求在曲線C上的最大方向?qū)?shù).
【答案】3
【解析】因為沿著梯度的方向的方向?qū)?shù)最大，且最大值為梯度的模.
，
故，模為，
此題目轉(zhuǎn)化為對函數(shù)在約束條件下的最大值.即為條件極值問題.
為了計算簡單，可以轉(zhuǎn)化為對
在約束條件下的最大值.
構(gòu)造函數(shù)：
，得到.
所以最大值為.
(18)(本題滿分 10 分)
（I）設(shè)函數(shù)可導，利用導數(shù)定義證明
（II）設(shè)函數(shù)可導，，寫出的求導公式.
【解析】（I）
（II）由題意得
(19)(本題滿分 10 分)
已知曲線L的方程為起點為，終點為，計算曲線積分.
【答案】
【解析】由題意假設(shè)參數(shù)方程，
(20) (本題滿11分)
設(shè)向量組內(nèi)的一個基，，，.
（I）證明向量組為的一個基;
（II）當k為何值時，存在非0向量在基與基下的坐標相同，并求所有的.
【答案】
【解析】(I)證明：
故為的一個基.
（II）由題意知，
即
即
即，得k=0
(21) (本題滿分11 分)
設(shè)矩陣相似于矩陣.
(I) 求的值；
（II）求可逆矩陣，使為對角矩陣..
【解析】(I)
(II)
的特征值
時的基礎(chǔ)解系為
時的基礎(chǔ)解系為
A的特征值
令，
(22) (本題滿分11 分) 設(shè)隨機變量的概率密度為
對 進行獨立重復的觀測,直到2個大于3的觀測值出現(xiàn)的停止.記為觀測次數(shù).
(I)求的概率分布;
(II)求
【解析】(I) 記為觀測值大于3的概率，則，
從而，
為的概率分布；
(II)
記，則，
，
，
所以，
從而.
(23) (本題滿分 11 分)設(shè)總體X的概率密度為：
其中為未知參數(shù)，為來自該總體的簡單隨機樣本.
(I)求的矩估計量.
(II)求的最大似然估計量.
【解析】(I) ，
令，即，解得為的矩估計量；
(II) 似然函數(shù)，
當時，，則.
從而，關(guān)于單調(diào)增加，
所以為的最大似然估計量.
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